로그부등식 영역 최대

진수조건에 의해서 $x + y - 4 > 0$, $x + y > 0$, $x > 0$, $y > 0$ ∴ $x + y - 4 > 0$, $x > 0$, $y > 0$ ⋯⋯ ㉠ $\log _{2} \left( x + y - 4 \right) + \log _{2} ( x + y ) \leq 1 + \log _{2} x + \log _{2} y$ $\leftrightarrow$ $( x + y - 4 ) ( x + y ) \leq 2 xy$ 이고 ㉠ $\leftrightarrow$ $x ^{2} + y ^{2} - 4 x - 4 y \leq 0$이고 ㉠ $\leftrightarrow$ $( x - 2 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} \leq 8$이고 ㉠ 따라서 주어진 부등식을 만족하는 점 $( x , y )$가 존재하는 영역은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.

$7 y - x = k$라 할 때, $\displaystyle \frac{k}{7}$은 직선 $7 y - x = k$의 $y$절편이므로 $k$는 위의 그림과 같이 원 $( x - 2 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = 8$과 직선 $7 y - x = k$가 접할 때, 최대가 된다. $\displaystyle \frac{| 7 \cdot 2 - 2 - k |}{\sqrt{7 ^{2} + 1 ^{2}}} = 2 \sqrt{2}$에서 $| k - 12 | = 20$이므로 구하는 $k$의 최댓값은 $32$이다.