대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그부등식 집합

문제

정수 전체의 집합의 두 부분집합 A={x∣log⁡2(x+1)≤k}A = \left\{ {} ^{} x | \log _{2} \left( x + 1 \right) \leq k \right\} B={x∣B = \left\{ {} _{} ^{{} ^{}} x | \right.log⁡2(x−2)−log⁡12(x+1)≥2\displaystyle \log _{2} \left( x - 2 \right) - \log _{\frac{1}{2}} \left( x + 1 \right) \geq 2}\left. {}_{{} _{}} ^{{} ^{}} \right\} 에 대하여 n(A∩B)=5n \left( A \cap B \right) = 5를 만족시키는 자연수 kk의 값은? [3점] ①33②44③55④66⑤77

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①

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해설

[출제의도] 로그함수를 활용하여 문제해결하기 log⁡2(x+1)≤k\log _{2} \left( x + 1 \right) \leq k에서 진수의 조건에 의하여 x>−1x > \mathit{-} 1이고 x+1≤2kx + 1 {\leq} 2 ^{k}이므로 A={x∣−1<x≤2k−1}A = \left\{ x | - 1 < x \leq 2 ^{k} - 1 \right\} log⁡2(x−2)−log⁡12(x+1)≥2\displaystyle \log _{2} \left( x - 2 \right) - \log _{\frac{1}{2}} \left( x + 1 \right) \geq 2에서 log⁡2(x−2)(x+1)≥2\log _{2} \left( x - 2 \right) \left( x + 1 \right) \geq 2 진수의 조건에 의하여 x>2x > 2이고 (x−2)(x+1)≥4\left( x - 2 \right) \left( x + 1 \right) \geq 4이므로 B={x∣x≥3}B = \left\{ x | x {\geq} 3 \right\} n(A∩B)=5n \left( A \cap B \right) = 5이므로 2k−1=72 ^{k} - 1 = 7 따라서 자연수 kk의 값은 33

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#로그부등식#집합

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