대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그방정식 정수해

문제

로그방정식 $\displaystyle \log _{2} x ^{2} + \log _{2} y ^{2} = \log _{\sqrt{2}} ( x + y + 3 )$ 을 만족시키는 양의 정수 $x , y$ 에 대하여 $x ^{2} + 2 y ^{2}$ 의 최소값을 구하시오. [3점]

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[출제의도] 로그방정식 풀기 $2 \log _{2} {x ^{2} y ^{2}} = 2 \log _{2} ( x + y + 3 ) ^{2}$ $x ^{2} y ^{2} = ( x + y + 3 ) ^{2}$ $xy = x + y + 3$ ( $\because x , y$ 는 양의 정수) $( x - 1 ) ( y - 1 ) = 4$ $\displaystyle \begin{cases} x = 2 \\ y = 5 \end{cases}$ 또는 $\displaystyle \begin{cases} x = 5 \\ y = 2 \end{cases}$ 또는 $\displaystyle \begin{cases} x = 3 \\ y = 3 \end{cases}$ $x ^{2} + 2 y ^{2}$ 의 최소값은 $27$

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