대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그방정식 근의 곱 극한

문제

이차함수 f(x)=a(x−4)2−4f ( x ) = a ( x - 4 ) ^{2} - 4에 대하여 로그 방정식 log⁡2f(x)+log⁡2{f(x)−1}=1\log _{2} f ( x ) + \log _{2} \left\{ f ( x ) - 1 \right\} = 1 의 두 실근을 α,β\alpha , \beta 라고 할 때, lim⁡a→∞αβ\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow \infty} {\alpha \beta} 의 값을 구하시오. [3점]

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16

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해설

log⁡2f(x)+log⁡2{f(x)−1}=1\log _{2} f ( x ) + \log _{2} \left\{ f ( x ) - 1 \right\} = 1에서 f(x){f(x)−1}=2f ( x ) \left\{ f ( x ) - 1 \right\} = 2 {f(x)−2}{f(x)+1}=0\left\{ f ( x ) - 2 \right\} \left\{ f ( x ) + 1 \right\} = 0 f(x)=2f ( x ) = 2 또는−1- 1 진수조건에 의해 f(x)>1f ( x ) > 1이므로 f(x)=2f ( x ) = 2 a(x−4)2−4=2a ( x - 4 ) ^{2} - 4 = 2 ax2−8ax+16a−6=0ax ^{2} - 8 ax + 16 a - 6 = 0 두 근의 곱 αβ=\alpha \beta = 16−6a\displaystyle 16 - \frac{6}{a} ∴lim⁡a→∞αβ=lim⁡a→∞(16−6a)=16\displaystyle \therefore \lim\limits _{a \rightarrow \infty} {} \alpha \beta = \lim\limits _{a \rightarrow \infty} {} \left( 16 - \frac{6}{a} \right) = 16

태그

#로그방정식#극한

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