로그방정식 두 실근

[출제의도] 로그방정식을 이용하여 실근의 개수를 구할 수 있는지 묻는 문제이다. $\log x = X$로 놓으면 주어진 방정식은 $X ^{2} + \left( \log 2 + \log 4 \right) X + \left( \log 2 \right) \left( \log 4 \right) + \left( \log k \right) ^{2} = 0$ 주어진 조건을 만족하려면 $X$에 대한 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식 $D$는 $D = \left( \log 2 + \log 4 \right) ^{2} - 4 \left( \log 2 \right) \left( \log 4 \right) - 4 \left( \log k \right) ^{2} > 0$ $\displaystyle - \frac{1}{2} \log 2 < \log k < \frac{1}{2} \log 2$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} < k < \sqrt{2}$ $\therefore$ $\displaystyle 10 ( \alpha ^{2} + \beta ^{2} ) = 10 \left( \frac{1}{2} + 2 \right) = 25$