로그방정식 두 근의 곱

[출제의도] 로그방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \left( \log _{3} \frac{9}{x} \right) \left( \log _{3} \frac{x}{3} \right) + 6 = 0$ $\left( 2 - \log _{3} x \right) \left( \log _{3} x - 1 \right) + 6 = 0$ $\log _{3} x = t$로 치환하면 $( 2 - t ) ( t - 1 ) + 6 = 0$ $t ^{2} - 3 t - 4 = 0$ ∴ $t = 4$ 또는 $t = - 1$ 따라서 $\log _{3} x = 4$또는 $\log _{3} x = - 1$이므로 $x = 3 ^{4}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{1}{3}$ ∴ $\displaystyle \alpha \beta = 3 ^{4} \times \frac{1}{3} = 27$