로그 유리수 증명 빈칸

다음은 자연수 $n$에 대하여 $\log _{2} n$이 유리수이면 $n$을 $n = 2 ^{k}$ (단, $k$는 $k \geq 0$인 정수)의 꼴로 나타낼 수 있음을 증명한 것이다.

<증명> 자연수 $n$에 대하여 $\log _{2} n$이 유리수라고 하자. $n$이 자연수이므로 $n = 2 ^{k} \cdot m$ 을 만족시키는 $k \geq 0$인 정수 $k$와 홀수인 자연수 $m$이 존재한다. 그러면 $\log _{2} n =$$\square {( \text{가} )}$ 따라서 $\log _{2} n$이 유리수이면 $\log _{2} m$도 유리수이어야 하므로 $\displaystyle \log _{2} m = \frac{` \mathrm{q}}{p}$ (단, $p$는 자연수이고 $q$는 정수) 로 놓을 수 있다. 그러면 $\square {( \text{나} )}$ $m$이 홀수이므로 $m ^{p}$은 홀수이다. 따라서 $2 ^{q}$도 홀수이어야 하므로 $\square {( \text{다} )}$ 이고 $m = 1$이다. 따라서 $n$을 $n = 2 ^{k}$ (단, $k$는 $k \geq 0$인 정수) 의 꼴로 나타낼 수 있다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①$k \log _{2} m$ $m ^{q} = 2 ^{p}$ $q = 1$②$k \log _{2} m$ $m ^{p} = 2 ^{q}$ $q = 1$③$k + \log _{2} m$ $m ^{q} = 2 ^{p}$ $q = 0$④$k + \log _{2} m$ $m ^{p} = 2 ^{q}$ $q = 1$⑤$k + \log _{2} m$ $m ^{p} = 2 ^{q}$ $q = 0$