로그 유리수 개수

[출제의도] 지수와 로그 이해하기 $\log _{n} k$가 유리수라 하면 $\displaystyle \log _{n} k = \frac{q}{p}$($p , q$는 정수, $p \ne 0$) 이고 $\displaystyle \log _{n} k = \frac{q}{p} \times 1 = \frac{q}{p} \log _{m} m = \log _{m ^{p}} m ^{q}$ ($m$은 $2$이상의 자연수) 이므로 $n = m ^{p}$일 때 $k = m ^{q}$이다. 즉, $n = 2 ^{p}$일 때 $\log _{n} k$가 유리수가 되기 위해서는 $k = 1 , 2 , 2 ^{2} , \cdots , 2 ^{p - 1} , 2 ^{p}$이므로 $f \left( 2 ^{p} \right) = p + 1$이다. 그러므로 $f \left( n \right) \geq 5$를 만족하는 자연수 $n$은 $2 ^{4} , 2 ^{5} , 2 ^{6}$이다. $n = 3 ^{p}$일 때 $\log _{n} k$가 유리수가 되기 위해서는 $k = 1 , 3 , 3 ^{2} , \cdots , 3 ^{p - 1} , 3 ^{p}$이므로 $f \left( 3 ^{p} \right) = p + 1$이다. 그러므로 $f \left( n \right) \geq 5$를 만족하는 자연수 $n$은 $3 ^{4}$이다. $m \geq 4$일 때 $\left. f ( n \right) \geq 5$가 되는 $100$이하의 자연수 $n$은 존재하지 않는다. 따라서 $\left. f ( n \right) \geq 5$가 되는 모든 자연수 $n$의 값의 합은 $2 ^{4} + 3 ^{4} + 2 ^{5} + 2 ^{6} = 193$이다.