대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 연산 정의 보기

문제

11보다 큰 양수 a,ba , b에 대하여 <<a,b>>< < a , b > >를 log⁡2(log⁡ab)\log _{2} \left( \log _{a} b \right)라 정의할 때, <보 기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. <<a,a>>=1< < a , a > > = 1 ㄴ. <<b,a>>=−<<a,b>>< < b , a > > = - < < a , b > > ㄷ. <<a,b2>>−<<a2,b>>=2< < a , b ^{2} > > - < < a ^{2} , b > > = 2

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

[출제의도] 로그의 성질 이해하기 ㄱ. <<a,a>>=log⁡2(log⁡aa)=log⁡21=0< < a , a > > = \log _{2} ( \log _{a} a ) = \log _{2} 1 = 0 (거짓) ㄴ. <<b,a>>=log⁡2(log⁡ba)=log⁡2(1log⁡ab)\displaystyle < < b , a > > = \log _{2} ( \log _{b} a ) = \log _{2} ( \frac{1}{\log _{a} b} ) =log⁡2(log⁡ab)−1=−log⁡2(log⁡ab)= \log _{2} ( \log _{a} b ) ^{- 1} = - \log _{2} ( \log _{a} b ) =−<<a,b>>= - < < a , b > > (참) ㄷ. <<a,b2>>−<<a2,b>>< < a , b ^{2} > > - < < a ^{2} , b > > =log⁡2(log⁡ab2)= \log _{2} ( \log _{a} b ^{2} )−log⁡2(log⁡a2b)- \log _{2} ( \log _{a ^{2}} b ) =log⁡2(2log⁡ab)−log⁡2(12log⁡ab)\displaystyle = \log _{2} ( 2 \log _{a} b ) - \log _{2} \left( \frac{1}{2} {\mathrm{\log}} _{a} b \right) =log⁡2(2log⁡ab12)=log⁡24=2\displaystyle = \log _{2} \left( \frac{2 \log _{a} b}{\frac{1}{2}} \right) = \log _{2} 4 = 2

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