로그 연립방정식

[출제의도] 로그방정식의 해 구하기 $\displaystyle \log _{3} x \cdot \log _{2} y = \frac{\log _{2} x}{\log _{2} 3} \cdot \frac{\log _{3} y}{\log _{3} 2} = 6$ $\log _{2} x = X$, $\log _{3} y = Y$라 하면 $\displaystyle {\begin{cases} X + Y = 5 \\ XY = 6 \end{cases}}$이므로 $\displaystyle {\begin{cases} X = 2 \\ Y = 3 \end{cases}}$ 또는 $\displaystyle {\begin{cases} X = 3 \\ Y = 2 \end{cases}}$ 즉, $\displaystyle {\begin{cases} x = 4 \\ y = 27 \end{cases}}$ 또는 $\displaystyle {\begin{cases} x = 8 \\ y = 9 \end{cases}}$ 따라서 $\beta - \alpha$의 최댓값은 $23$