로그 연립방정식

$\log _{3} a = x$, $\log _{3} b = y$라 하면 $\log _{9} a + \log _{3} b = 2$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \log _{3} a + \log _{3} b = 2$, $\displaystyle \frac{1}{2} x + y = 2$ $x + 2 y = 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\log _{3} a = 8 \log _{9} b$에서 $\log _{3} a = 4 \log _{3} b$, $x = 4 y$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 $4 y + 2 y = 4$, $\displaystyle y = \frac{2}{3}$ ㉡에 $\displaystyle y = \frac{2}{3}$를 대입하면 $\displaystyle x = \frac{8}{3}$ 이때 $\displaystyle \log _{3} \frac{a}{b} = \log _{3} a - \log _{3} b = x - y$이므로 $\displaystyle \log _{3} \frac{a}{b} = \frac{8}{3} - \frac{2}{3} = 2$ $\therefore$$\displaystyle \frac{a}{b} = 3 ^{2} = 9$