대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 수열과 등비수열

문제

각 항이 양수인 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 에 대하여 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$ 을 다음과 같이 정의한다. $b _{n} = \log _{3} a _{n}$ ( $n = 1$ , $2$ , $3$ , $\cdots$ ) 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$ 이 다음 조건을 만족시킬 때, $a _{11}$ 의 값은? [4점]

(가) $b _{1} + b _{3} + b _{5} + \cdots + b _{15} + b _{17} = 36$ (나) $b _{2} + b _{4} + b _{6} + \cdots + b _{16} + b _{18} = 45$

① $3 ^{5}$ ② $3 ^{6}$ ③ $3 ^{7}$ ④ $3 ^{8}$ ⑤ $3 ^{9}$

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②

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해설

등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 첫째항을 $a$ , 공비를 $r$ 라 하면 $b _{1} + b _{3} + b _{5} + \cdots + b _{15} + b _{17}$ $= \log _{3} a + \log _{3} ar ^{2} + \log _{3} ar ^{4} + \cdots + \log _{3} ar ^{14} + \log _{3} ar ^{16}$ $= \log _{3} a ^{9} r ^{72} = 9 \log _{3} ar ^{8} = 36$ ∴ $ar ^{8} = 3 ^{4}$ … ㉠ $b _{2} + b _{4} + b _{6} + \cdots + b _{16} + b _{18}$ $= \log _{3} ar + \log _{3} ar ^{3} + \log _{3} ar ^{5} + \cdots + \log _{3} ar ^{15} + \log _{3} ar ^{17}$ $= \log _{3} a ^{9} r ^{81} = 9 \log _{3} ar ^{9} = 45$ ∴ $ar ^{9} = 3 ^{5}$ … ㉡㉠, ㉡에서 $\displaystyle r = 3 , a = \frac{1}{81}$ 이므로 $a _{n} = 3 ^{n - 5}$ 이다. ∴ $a _{11} = 3 ^{11 - 5} = 3 ^{6}$

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