로그 수열 빈칸 추론

[출제의도] 수열의 합을 활용하여 추론하기 주어진 식 $\left( * \right)$에 의하여 $n S _{n}$$\displaystyle = \log _{2} \left( n + 1 \right) + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} S _{k}$ $\left( n \geq 2 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이다. $\left( * \right)$에서 ㉠을 빼서 정리하면 $\left( n + 1 \right) S _{n + 1} - n S _{n}$ $\displaystyle = \log _{2} \left( n + 2 \right) - \log _{2} \left( n + 1 \right) + \sum\limits _{k = 1} ^{n} S _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} S _{k}$ $\left( n \geq 2 \right)$ 이므로 $\left( {\square {\left( n + 1 \right)}} \right) \times a _{n + 1}$$\displaystyle = \log _{2} \frac{n + 2}{n + 1}$ $\left( n \geq 2 \right)$ 이다. $a _{1}$$= 1$$= \log _{2} 2$이고, $2 S _{2}$$= \log _{2} 3 + S _{1}$$= \log _{2} 3 + a _{1}$이므로 $2 a _{2}$$\displaystyle = \log _{2} \frac{3}{2}$ 모든 자연수 $n$에 대하여 $n a _{n}$$\displaystyle = {\square {\log _{2} \frac{n + 1}{n}}}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} k a _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \log _{2} \frac{k + 1}{k}$ $\displaystyle = \log _{2} \frac{2}{1} + \log _{2} \frac{3}{2} + \cdots + \log _{2} \frac{n + 1}{n}$ $\displaystyle = \log _{2} \left( \frac{2}{1} \times \frac{3}{2} \times \cdots \times \frac{n + 1}{n} \right)$ $= {\square {\log _{2} \left( n + 1 \right)}}$ 이다. $f \left( n \right)$$= n + 1$, $g \left( n \right)$$\displaystyle = \log _{2} \frac{n + 1}{n}$, $h \left( n \right)$$= \log _{2} \left( n + 1 \right)$ 따라서 $f \left( 8 \right) - g \left( 8 \right) + h \left( 8 \right)$$\displaystyle = 9 - \log _{2} \frac{9}{8} + \log _{2} 9$$= 12$