로그 식의 값

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 식의 값을 구하는 문제 해결하기 로그의 정의로부터 $a = 2 ^{x}$, $b = 2 ^{y}$이다. $\displaystyle \log _{8} a ^{\frac{1}{y}} + \log _{8} b ^{\frac{1}{x}}$$\displaystyle = \log _{8} 2 ^{\frac{x}{y}} + \log _{8} 2 ^{\frac{y}{x}}$ $\displaystyle = \log _{8} 2 ^{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$$\displaystyle = \log _{8} 2 ^{\frac{x ^{2} + y ^{2}}{xy}}$$\displaystyle = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{3 xy}$$\displaystyle = \frac{4 xy}{3 xy}$$\displaystyle = \frac{4}{3}$ 이므로 $\displaystyle k = \frac{4}{3}$이다. 따라서 $27 k = 36$이다. [다른 풀이] $\displaystyle \log _{8} a ^{\frac{1}{y}} + \log _{8} b ^{\frac{1}{x}} = \log _{2 ^{3}} a ^{\frac{1}{y}} + \log _{2 ^{3}} b ^{\frac{1}{x}}$=$\displaystyle \frac{1}{3 y} \log _{2} a + \frac{1}{3 x} \log _{2} b$ $\displaystyle = \frac{x}{3 y} + \frac{y}{3 x}$$\displaystyle = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{3 xy}$$\displaystyle = \frac{4}{3}$ 이므로 $\displaystyle k = \frac{4}{3}$이다. 따라서 $27 k = 36$이다.