대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)f ( x ) 가 임의의 양수 a,ba , b 에 대하여 f(ab)=f(a)+f(b)f ( a b ) = f ( a ) + f ( b )을 만족할 때, <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. f(a2)=f(a)\displaystyle f ( a ^{2} ) = \sqrt{f ( a )} ㄴ. f(a3)=3f(a)f ( a ^{3} ) = 3 f ( a ) ㄷ. f(a)+f(1a)=0\displaystyle f ( a ) + f \left( \frac{1}{a} \right) = 0

①ㄴ②ㄱ. ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
④

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해설

ㄱ. f(a2)=f(a×a)=f(a)+f(a)=2f(a)f ( a ^{2} ) = f ( a \times a ) = f ( a ) + f ( a ) = 2 f ( a ) ∴ 거짓 ㄴ. f(a3)=f(a2×a)=f(a2)+f(a)f ( a ^{3} ) = f ( a ^{2} \times a ) = f ( a ^{2} ) + f ( a ) =2f(a)+f(a)=3f(a)= 2 f ( a ) + f ( a ) = 3 f ( a ) ∴ 참 ㄷ. f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)f ( 1 ) = f ( 1 \times 1 ) = f ( 1 ) + f ( 1 ) ∴ f(1)=0f ( 1 ) = 0 f(1)=f(a×1a)=f(a)+f(1a)=0\displaystyle f ( 1 ) = f \left( a \times \frac{1}{a} \right) = f ( a ) + f \left( \frac{1}{a} \right) = 0 ∴ 참

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