로그 삼각방정식 적분

[출제의도] 삼각함수의 성질 및 치환적분법을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 함수 $y = \sin \theta$의 그래프의 성질 중 $\sin ( 2 \pi + \theta ) = \sin \theta$, $\sin \theta = \sin ( \pi - \theta )$를 이용한다.

(1) $\displaystyle 0 \leq \ln t < \frac{\pi}{2}$, 즉 $\displaystyle 1 \leq t < e ^{\frac{\pi}{2}}$이면 $\displaystyle \frac{\pi}{2} < \ln t + \ln x \leq \pi$ 이고 $\ln t + \ln x = \pi - \ln t$ $\ln t + ( \ln t + \ln x ) = \pi$ 따라서 $\displaystyle x = f ( t ) = \frac{e ^{\pi}}{t ^{2}}$ (2) $\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq \ln t \leq \pi$, 즉 $\displaystyle e ^{\frac{\pi}{2}} \leq t \leq e ^{\pi}$이면 $\displaystyle 2 \pi \leq \ln t + \ln x \leq \frac{5}{2} \pi$ 이고 $\ln t + \ln x = 3 \pi - \ln t$ $\ln t + ( \ln t + \ln x ) = 3 \pi$ 따라서 $\displaystyle x = f ( t ) = \frac{e ^{3 \pi}}{t ^{2}}$ $\displaystyle f ( t ) = {\begin{cases} \frac{e ^{\pi}}{t ^{2}} & \left( 1 \leq t < e ^{\frac{\pi}{2}} \right) \\ \frac{e ^{3 \pi}}{t ^{2}} & \left( e ^{\frac{\pi}{2}} \leq t \leq e ^{\pi} \right) \end{cases}}$ 함수 $t f ( t ) ( 2 \ln t - \pi )$는 구간 $[ 1 , e ^{\pi} ]$에서 연속이므로 적분가능하다. 따라서 $\displaystyle \int _{1} ^{e ^{\pi}} {} t f ( t ) ( 2 \ln t - \pi ) dt$ $\displaystyle = e ^{\pi} \int _{1} ^{e ^{\frac{\pi}{2}}} {} \frac{2 \ln t - \pi}{t} dt + e ^{3 \pi} \int _{e ^{\frac{\pi}{2}}} ^{e ^{\pi}} {} \frac{2 \ln t - \pi}{t} dt$ $\displaystyle = \frac{1}{2} e ^{\pi} \int _{- \pi} ^{0} {} s ds + \frac{1}{2} e ^{3 \pi} \int _{0} ^{\pi} {} s ds$ $( s = 2 \ln t - \pi )$ $\displaystyle = \frac{1}{2} e ^{\pi} \times \left( - \frac{\pi ^{2}}{2} \right) + \frac{1}{2} e ^{3 \pi} \times \frac{\pi ^{2}}{2}$ $\displaystyle = \frac{\pi ^{2} ( e ^{3 \pi} - e ^{\pi} )}{4}$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{\pi ^{2}} \int _{1} ^{e ^{\pi}} {} t f ( t ) ( 2 \ln t - \pi ) dt = \frac{e ^{3 \pi} - e ^{\pi}}{4}$