공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 나머지와 두 근의 합

문제

이차항의 계수가 11인 이차식 f(x)f ( x )에 대하여 f(x)f ( x )를 x+log⁡5x + \log 5로 나눈 나머지가 log⁡511\log 5 ^{11}이고, x−log⁡2x - \log 2로 나눈 나머지가 log⁡2−9\log 2 ^{- 9} 이다. 이 때, 방정식 f(x)=0f ( x ) = 0의 두 근의 합을 구하시오. [4점]

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10

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해설

[출제의도] 로그의 성질을 이용한 수학 내적 문제해결하기 f(x)=x2+ax+bf ( x ) = x ^{2} + ax + b라 하자. (ⅰ) f(−log⁡5)=log⁡511f ( - \log 5 ) = \log 5 ^{11} (−log⁡5)2−alog⁡5+b=11log⁡5⋯⋯①( - \log 5 ) ^{2} - a \log 5 + b = 11 \log 5 \cdots \cdots \text{①} (ⅱ) f(log⁡2)=log⁡2−9f ( \log 2 ) = \log 2 ^{- 9} $( \log 2 ) ^{2} + a \log 2 + b = - 9 \log 2 \cdots \cdots \text{ ②}$ ①과 ②에 의하여, (log⁡2)2−(log⁡5)2+a(log⁡2+log⁡5)=−9log⁡2−11log⁡5\begin{aligned} ( \log 2 ) ^{2} - ( \log 5 ) ^{2} + a ( \log 2 + \log 5 ) \\ = - 9 \log 2 - 11 \log 5 \end{aligned} a=−10a = - 10 ∴ 두 근의 합 1010

태그

#나머지정리#로그

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