로그 무리수 상등

[출제의도] 무리수가 서로 같을 조건과 로그의 성질을 관련지어 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\log 20 = 1 + \log 2$, $\displaystyle \frac{1}{\log _{8} 100} = \frac{\log 8}{\log 100} = \frac{3}{2} \frac{\log 2}{\log 10} = \frac{3}{2} \log 2$이므로 $\displaystyle a ( 1 + \log 2 ) + \frac{3 b}{2} \log 2 + 3 = 0$ $\displaystyle ( a + 3 ) + \left( a + \frac{3 b}{2} \right) \log 2 = 0$ 이때 $a + 3$,$\displaystyle a + \frac{3 b}{2}$는 유리수이고 $\log 2$가 무리수이므로 $a + 3 = 0$, $\displaystyle a + \frac{3 b}{2} = 0$ ∴ $a = - 3$, $b = 2$ ∴$a ^{2} + b ^{2} = 13$