로그 조건을 만족하는 수열의 항의 합

$\log a _{n} + \log a _{n + 1} = 2 n$에서 $a _{n} a _{n + 1} = 10 ^{2 n}$ $a _{1} a _{2} = 10 ^{2}$, $a _{2} a _{3} = 10 ^{4}$, $a _{3} a _{4} = 10 ^{6}$에서 $\displaystyle a _{2} = 10 ^{2} \times \frac{1}{a _{1}}$, $a _{3} = 10 ^{2} \times a _{1}$, $\displaystyle a _{4} = 10 ^{4} \times \frac{1}{a _{1}}$ 조건에서 $\left\{ a _{n} \right\}$는 모든 항이 자연수이므로 $a _{2}$가 자연수가 되려면 $a _{1}$은 $100 = 2 ^{2} \times 5 ^{2}$의 약수이므로 가능한 $a _{1}$은 총 $9$가지다. (ⅰ) $a _{1} = 1$일 때 $a _{4} = 10 ^{4} \times 1 = 10000$ (ⅱ) $a _{1} = 2$일 때 $\displaystyle a _{4} = 10 ^{4} \times \frac{1}{2} = 5000$ (ⅲ) $a _{1} = 2 ^{2}$일 때 $\displaystyle a _{4} = 10 ^{4} \times \frac{1}{2 ^{2}} = 2500$ (ⅳ) $a _{1} = 5$일 때 $\displaystyle a _{4} = 10 ^{4} \times \frac{1}{5} = 2000$ (ⅴ) $a _{1} = 2 \times 5$일 때 $\displaystyle a _{4} = 10 ^{4} \times \frac{1}{10} = 1000$ (ⅵ) $a _{1} = 2 ^{2} \times 5$일 때 $\displaystyle a _{4} = 10 ^{4} \times \frac{1}{20} = 500$ (ⅶ) $a _{1} = 5 ^{2}$일 때 $\displaystyle a _{4} = 10 ^{4} \times \frac{1}{25} = 400$ (ⅷ) $a _{1} = 2 \times 5 ^{2}$일 때 $\displaystyle a _{4} = 10 ^{4} \times \frac{1}{50} = 200$ (ⅸ) $a _{1} = 2 ^{2} \times 5 ^{2}$일 때 $\displaystyle a _{4} = 10 ^{4} \times \frac{1}{100} = 100$ (ⅰ)∼(ⅸ)에서 만족하는 값을 모두 더하면 $21700$ 즉, $p \times 100$$=$$217 \times 100$에서 $p = 217$