대수지수와 로그수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

로그 조건을 만족하는 지수 a

문제

$x = \log _{3} 5$ 일 때, $\displaystyle 5 ^{\frac{1}{x}} = \left( 9 \sqrt{3} \right) ^{a}$ 이 성립하도록 하는 실수 $a$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \frac{2}{9}$ ② $\displaystyle \frac{1}{4}$ ③ $\displaystyle \frac{2}{7}$ ④ $\displaystyle \frac{1}{3}$ ⑤ $\displaystyle \frac{2}{5}$

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⑤

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해설

$x = \log _{3} 5$ 에서 $3 ^{x} = 5$ , $\displaystyle 5 ^{\frac{1}{x}} = 3$ $\displaystyle 5 ^{\frac{1}{x}} = \left( 9 \sqrt{3} \right) ^{a}$ 에서 $\displaystyle 3 = 3 ^{\frac{5 a}{2}}$ , $\displaystyle 1 = \frac{5 a}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle a = \frac{2}{5}$

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