로그 조건 집합 원소 수

집합 $A _{m}$에서 $\log _{2} a + \log _{4} b = \log _{4} a ^{2} b$가 $100$ 이하의 자연수이므로 $\log _{4} a ^{2} b = \alpha$($1 \leq \alpha \leq 100$, $\alpha$는 자연수)라 하면 $a ^{2} b = 4 ^{\alpha}$이다. 따라서 $a ^{2} b = 4 ^{1}$, $4 ^{2}$, $4 ^{3}$, $\cdots$, $4 ^{100}$이어야 한다. $a = 1$일 때 $b = 4 ^{1}$, $4 ^{2}$, $4 ^{3}$, $\cdots$, $4 ^{100}$이므로 $b = 2 ^{k}$($k$는 정수)를 만족시킨다. $ab = 4 ^{1}$, $4 ^{2}$, $\cdots$, $4 ^{100}$ 따라서 $m = 1$일 때 $a = 1$이므로 $ab = 4 ^{1}$, $4 ^{2}$, $4 ^{3}$, $\cdots$, $4 ^{100}$ $\therefore$ $A _{1} = \left\{ 4 ^{1} , 4 ^{2} , 4 ^{3} , \cdots , 4 ^{100} \right\}$ $\therefore$ $n \left( A _{1} \right) = 100$ $a = 2$일 때 $b = 4 ^{0}$, $4 ^{1}$, $4 ^{2}$, $\cdots$, $4 ^{99}$이므로 $b = 2 ^{k}$($k$는 정수)를 만족시킨다. $ab = 2 \times 4 ^{0}$, $2 \times 4 ^{1}$, $\cdots$, $2 \times 4 ^{99}$ 따라서 $m = 2$일 때 $a = 1$, $a = 2$이므로 $ab =$$4 ^{1}$, $4 ^{2}$, $\cdots$, $4 ^{100}$, $2 \times 4 ^{0}$, $2 \times 4 ^{1}$, $\cdots$, $2 \times 4 ^{99}$ $\therefore$ $A _{2} = \left\{ 4 ^{1} , 4 ^{2} , \cdots , 4 ^{100} , 2 \times 4 ^{0} , \cdots , 2 \times 4 ^{99} \right\}$ $\therefore$ $n \left( A _{2} \right) = 200$ $a = 3$일 때 $\displaystyle b = \frac{4 ^{1}}{9}$, $\displaystyle \frac{4 ^{2}}{9}$, $\displaystyle \frac{4 ^{3}}{9}$, $\cdots$, $\displaystyle \frac{4 ^{100}}{9}$이므로 $b = 2 ^{k}$($k$는 정수)를 만족시키지 못한다. 따라서 $a = 3$일 때 조건을 만족하는 $ab$는 존재하지 않는다. 따라서 $m = 3$일 때 $a = 1$, $a = 2$, $a = 3$이므로 집합 $A _{3}$의 원소의 개수는 집합 $A _{2}$의 원소의 개수와 같다. $\therefore$ $n \left( A _{3} \right) = 200$ $a = 4$일 때 $b = 4 ^{- 1}$, $4 ^{0}$, $4 ^{1}$, $\cdots$, $4 ^{98}$이므로 $b = 2 ^{k}$($k$는 정수)를 만족시킨다. $ab =$$4 ^{0}$, $4 ^{1}$, $4 ^{2}$, $\cdots$, $4 ^{99}$ 따라서 $m = 4$일 때 $a = 1$, $a = 2$, $a = 3$, $a = 4$이므로 $ab =$$4 ^{1}$, $4 ^{2}$, $\cdots$, $4 ^{100}$, $2 \times 4 ^{0}$, $2 \times 4 ^{1}$, $\cdots$, $2 \times 4 ^{99}$, $4 ^{0}$ $\therefore$ $A _{4} = \left\{ 4 ^{0} , 4 ^{1} , \cdots , 4 ^{100} , 2 \times 4 ^{0} , \cdots , 2 \times 4 ^{99} \right\}$ $\therefore$ $n \left( A _{4} \right) = 201$ $a = 5$, $a = 6$, $a = 7$일 때 $b = 2 ^{k}$($k$는 정수)를 만족시키지 못한다. 이와 같이 $a \ne 2 ^{\beta}$($\beta$는 자연수)일 때 $b = 2 ^{k}$($k$는 정수)를 만족시키지 못한다. 따라서 $a = 5$, $a = 6$, $a = 7$일 때 조건을 만족하는 $ab$는 존재하지 않으므로 $m = 5$, $m = 6$, $m = 7$일 때의 집합 $A _{m}$의 원소의 개수는 집합 $A _{4}$의 원소의 개수와 같다. $\therefore$ $n \left( A _{m} \right) = 201$($m = 5$, $6$, $7$) $a = 8$일 때 $b = 4 ^{- 2}$, $4 ^{- 1}$, $4 ^{0}$, $\cdots$, $4 ^{97}$이므로 $b = 2 ^{k}$($k$는 정수)를 만족시킨다. $ab = 2 \times 4 ^{- 1}$, $2 \times 4 ^{0}$, $\cdots$, $2 \times 4 ^{98}$ 따라서 $m = 8$일 때 $a = 1$, $a = 2$, $\cdots$, $a = 8$이므로 $ab =$$4 ^{1}$, $4 ^{2}$, $\cdots$, $4 ^{100}$, $2 \times 4 ^{0}$, $2 \times 4 ^{1}$, $\cdots$, $2 \times 4 ^{99}$, $4 ^{0}$, $2 \times 4 ^{- 1}$ $\therefore$ $A _{8} = \left\{ 4 ^{0} , \cdots , 4 ^{100} , 2 \times 4 ^{- 1} , 2 \times 4 ^{0} , \cdots , 2 \times 4 ^{99} \right\}$ $\therefore$ $n \left( A _{8} \right) = 202$ $\cdots$ $a = 64$일 때 $b = 4 ^{- 5}$, $4 ^{- 4}$, $4 ^{- 3}$, $\cdots$, $4 ^{94}$이므로 $b = 2 ^{k}$($k$는 정수)를 만족시킨다. $ab = 4 ^{- 2}$, $4 ^{- 1}$, $\cdots$, $4 ^{97}$ 따라서 $m = 64$일 때 $a = 1$, $a = 2$, $\cdots$, $a = 64$이므로 $ab =$$4 ^{1}$, $4 ^{2}$, $\cdots$, $4 ^{100}$, $2 \times 4 ^{0}$, $2 \times 4 ^{1}$, $\cdots$, $2 \times 4 ^{99}$, $4 ^{0}$, $2 \times 4 ^{- 1}$, $4 ^{- 1}$, $2 \times 4 ^{- 2}$, $4 ^{- 2}$ $\therefore$$A _{64} = \left\{ 4 ^{- 2} , 4 ^{- 1} , \cdots , 4 ^{100} , 2 \times 4 ^{- 2} , 2 \times 4 ^{- 1} , \cdots , 2 \times 4 ^{99} \right\}$ $\therefore$ $n \left( A _{64} \right) = 205$ $\cdots$ $a = 128$일 때 $b = 4 ^{- 6}$, $4 ^{- 5}$, $4 ^{- 4}$, $\cdots$, $4 ^{93}$이므로 $b = 2 ^{k}$($k$는 정수) 를 만족시킨다. $ab = 2 \times 4 ^{- 3}$, $2 \times 4 ^{- 2}$, $\cdots$, $2 \times 4 ^{96}$ 따라서 $m = 128$일 때 $a = 1$, $a = 2$, $\cdots$, $a = 128$ 이므로 $ab =$$4 ^{1}$, $4 ^{2}$, $\cdots$, $4 ^{100}$, $2 \times 4 ^{0}$, $2 \times 4 ^{1}$, $\cdots$, $2 \times 4 ^{99}$, $4 ^{0}$, $2 \times 4 ^{- 1}$, $4 ^{- 1}$, $2 \times 4 ^{- 2}$, $4 ^{- 2}$, $2 \times 4 ^{- 3}$ $\therefore$ $A _{128} = \left\{ 4 ^{- 2} , \cdots , 4 ^{100} , 2 \times 4 ^{- 3} , 2 \times 4 ^{- 2} , \cdots , 2 \times 4 ^{99} \right\}$ $\therefore$ $n \left( A _{128} \right) = 206$ $\cdots$ 이와 같이 임의의 두 자연수 $p$, $q$($p < q$)에 대하여 $n \left( A _{p} \right) \leq n \left( A _{q} \right)$가 성립한다. 따라서 $n \left( A _{m} \right) = 205$가 되도록 하는 자연수 $m$의 최댓값은 $127$