로그 조건 점화식

(ⅰ) $4 \leq n \leq 7$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $\log _{3} a _{n}$이 자연수가 아닌 경우 $a _{5} = a _{4} + 6$, $a _{6} = a _{5} + 6 = a _{4} + 12$, $a _{7} = a _{6} + 6 = a _{4} + 18$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 4} ^{7} a _{k} = 4 a _{4} + 36 = 40$, $a _{4} = 1$ 순서쌍 $\left( a _{1} , a _{2} , a _{3} \right)$은 $( 27 , 9 , 3 )$ 그러므로 $a _{1} = 27$ (ⅱ) $4 \leq n \leq 7$인 자연수 $n$에 대하여 $\log _{3} a _{n}$이 자연수인 $n$이 존재하는 경우 $a _{n} = 3 ^{m} \left( m \right.$은 자연수$)$인 $n \left( 4 \leq n \leq 7 \right)$이 존재한다. $a _{4}$, $a _{5}$, $a _{6}$, $a _{7}$ 중 $3 ^{m} \left( m \geq 4 \right)$가 존재하면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 4} ^{7} a _{k} > 40$이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다. 그러므로 $a _{4}$, $a _{5}$, $a _{6}$, $a _{7}$ 중 $3 ^{m} \left( m \geq 4 \right)$가 존재하지 않는다. 또한 $a _{4}$, $a _{5}$, $a _{6}$, $a _{7}$ 중 $\mathrm{27}$이 존재하지 않으면 $n = 4$, $5$, $6$, $7$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 4} ^{7} a _{k} < 40$ 그러므로 $a _{4}$, $a _{5}$, $a _{6}$, $a _{7}$ 중 하나가 $\mathrm{27}$이다. 만약 $a _{5}$, $a _{6}$, $a _{7}$ 중 하나가 $\mathrm{27}$이면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 4} ^{7} a _{k} > 40$이므로 $a _{4} = 27$ $a _{4} + a _{5} + a _{6} + a _{7} = 27 + 9 + 3 + 1 = 40$ 그러므로 $a _{4} = 27$일 때 조건을 만족시킨다. $a _{1} < 300$을 만족시키는 순서쌍 $\left( a _{1} , a _{2} , a _{3} \right)$은 $( 69 , 75 , 81 )$, $( 237 , 243 , 81 )$이므로 $a _{1} = 69$ 또는 $a _{1} = 237$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 $a _{1}$의 값의 합은 $27 + 69 + 237 = 333$