로그 지수 역상 집합

ㄱ. $\displaystyle C = \left\{ \frac{1}{10} , 1 , 10 \right\}$이므로 $\displaystyle 10 ^{x} = \frac{1}{10}$에서 $x = - 1$ $10 ^{x} = 1$에서 $x = 0$ $10 ^{x} = 10$에서 $x = 1$ ∴ $B = \left\{ - 1 , 0 , 1 \right\}$ (참) ㄴ. (반례) $x = \log _{10} 2 , y = \log _{10} 2$ 이면 $10 ^{x} = 10 ^{y} = 2$이므로 $x \in B , y \in B$이다. 이 때, $0 < \log _{10} 2 < 1$이므로 $\log _{10} 1 < ( \log _{10} 2 ) ^{2} < \log _{10} 2$ ∴ $\log _{10} 1 < xy < \log _{10} 2$ ∴ $1 < 10 ^{xy} < 2$ 따라서 $10 ^{xy} = N$를 만족하는 자연수 $N$이 존재하지 않는다. ∴ $xy \not \in B$ 따라서 집합 $B$는 곱셈에 대하여 닫혀있지 않다. ㄷ. $X = \left\{ 10 ^{x} | x \in C \right\}$$( \neq \phi )$로 놓자. i) 임의의 $10 ^{x} \in X$에 대하여 $x \in C$를 만족하는 실수 $x$가 존재하고, 이 $x$에 대하여 $f ( t ) = \log t = x$를 만족하는 실수 $t$$\in A$도 존재한다. 이 때, $10 ^{x} = t$이므로 $10 ^{x} \in A$ ∴ $X \subset A$ ii) 임의의 $t \in A$에 대하여 $f ( t ) = \log t = x$를 만족하는 실수 $x \in C$가 존재한다. 이 $x$에 대하여 $10 ^{x}$$\in X$이다. 그런데, $10 ^{x} = t$이므로 $t \in X$이다. ∴ $A \subset X$ ∴ $X = A$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 참고) ㄴ에서 집합$C$가 자연수 전체의 집합이면 $A = \left\{ 10 ^{1} , 10 ^{2} , 10 ^{3} , \cdots \right\}$,$B = \left\{ \log 1 , \log 2 , \log 3 , \cdots \right\}$ 이다. 따라서 집합$A$는 곱셈에 대하여 닫혀있고, 집합$B$는 덧셈에 대하여 닫혀있다.