로그·지수 곡선과 대칭

점 ${\mathrm{A}} \left( a , b \right)$는 곡선 $y = \log _{16} \left( 8 x + 2 \right)$ 위의 점이므로 $b = \log _{16} \left( 8 a + 2 \right)$ 점 ${\mathrm{B}} \left( c , d \right)$는 곡선 $\displaystyle y = 4 ^{x - 1} - \frac{1}{2}$ 위의 점이므로 $\displaystyle d = 4 ^{c - 1} - \frac{1}{2}$ 점 ${\mathrm{A}}$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점 ${\mathrm{A'}} \left( b , a \right)$는 직선 ${\mathrm{OB}}$ 위에 있으므로 세 점 ${\mathrm{O}}$, ${\mathrm{A'}}$, ${\mathrm{B}}$는 한 직선 위에 있다. 따라서 두 직선 ${\mathrm{OA'}}$, ${\mathrm{OB}}$의 기울기가 같아야 하므로 $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{d}{c}$ (단, $b \neq 0$, $c \neq 0$) $\therefore$ $ac = bd$ 즉, 상수 $k$에 대하여 $c = kb$, $d = ka$ 로 놓을 수 있다. 선분 ${\mathrm{AB}}$의 중점의 좌표가 $\displaystyle \left( \frac{77}{8} , \frac{133}{8} \right)$이므로 $\displaystyle \frac{a + c}{2} = \frac{77}{8}$, $\displaystyle a + c = \frac{77}{4}$ $\displaystyle \frac{b + d}{2} = \frac{133}{8}$, $\displaystyle b + d = \frac{133}{4}$ $c = kb$, $d = ka$를 대입하면 $\displaystyle a + kb = \frac{77}{4}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle b + ka = \frac{133}{4}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 한편, $f \left( x \right) = \log _{16} \left( 8 x + 2 \right)$라 하면 점 $\mathrm{A} \mathit{\left( a , b \right)}$가 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점이므로 점 $\mathrm{A}' \mathit{\left( b , a \right)}$는 함수 $y = f \left( x \right)$의 역함수 $y = f ^{-1} \left( x \right)$의 점이다. $x = \log _{16} \left( 8 y + 2 \right)$에서 $16 ^{x} = 8 y + 2$, 즉 $16 ^{x} - 2 = 8 y$이므로 $\displaystyle f ^{-1} \left( x \right) = 2 ^{4x-3} - \frac{1}{4}$ $\displaystyle g \left( x \right) = 4 ^{x-1} - \frac{1}{2}$라 하면 $2 f ^{-1} \left( x \right)$$\displaystyle = g \left( 2 x \right) = 4 ^{2x-1} - \frac{1}{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ 이때 $c = kb$, $d = ka$이므로 $g \left( kb \right) = kf ^{-1} \left( b \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ ㉢, ㉣에서 $k = 2$ $k = 2$를 ㉠, ㉡에 대입하면 $\displaystyle a + 2 b = \frac{77}{4}$, $\displaystyle 2 a + b = \frac{133}{4}$ 위 연립방정식을 풀면 $\displaystyle a = \frac{63}{4}$, $\displaystyle b = \frac{7}{4}$ $\therefore$ $\displaystyle a \times b = \frac{63}{4} \times \frac{7}{4} = \frac{441}{16}$ $p = 16$, $q = 441$이므로 $p + q = 16 + 441 = 457$