로그 지수 방정식

[출제의도] 로그방정식의 해를 구한다. $x ^{\log 2} = 2 ^{\log x}$이므로 주어진 방정식은 $2 ^{\log x} \times 2 ^{\log x} - ( 2 ^{\log x} + 5 \times 2 ^{\log x} ) + 8 = 0$ $t = 2 ^{\log x}$로 놓으면 $t ^{2} - 6 t + 8 = 0$ $( t - 2 ) ( t - 4 ) = 0$ $t = 2$ 또는 $t = 4$ 즉 $2 ^{\log x} = 2$ 또는 $2 ^{\log x} = 4$ $\log x = 1$ 또는 $\log x = 2$ $x = 10$ 또는 $x = 10 ^{2}$ 따라서 두 근의 곱은 $10 \times 10 ^{2} = 10 ^{3}$ [다른풀이] $2 ^{\log x} = x ^{\log 2}$이므로 주어진 방정식은 $x ^{\log 2} \times x ^{\log 2} - ( x ^{\log 2} + 5 \times x ^{\log 2} ) + 8 = 0$ $t = x ^{\log 2}$로 놓으면 $t ^{2} - 6 t + 8 = 0$ $( t - 2 ) ( t - 4 ) = 0$ $t = 2$ 또는 $t = 4$ 즉 $x ^{\log 2} = 2$ 또는 $x ^{\log 2} = 4$ 각 식의 양변에 상용로그를 취하면 $\log x ^{\log 2} = \log 2$ 또는 $\log x ^{\log 2} = \log 4$ $\log 2 \log x = \log 2$ 또는 ${\log 2} \log x = 2 \log 2$ 각 식의 양변을 $\log 2$로 나누면 $\log x = 1$ 또는 $\log x = 2$ $x = 10$ 또는 $x = 10 ^{2}$ 따라서 두 근의 곱은 $10 \times 10 ^{2} = 10 ^{3}$