로그 정의 조건

$\log _{a} \left( x ^{2} + a x + a + 8 \right)$이 정의되기 위해서는 $a > 0$, $a \neq 1$, $x ^{2} + a x + a + 8 > 0$이어야 한다. 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x ^{2} + a x + a + 8 > 0$이 성립하기 위해서는 이차방정식 $x ^{2} + a x + a + 8 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D < 0$이어야 한다. $D = a ^{2} - 4 \left( a + 8 \right) = a ^{2} - 4 a - 32 = \left( a + 4 \right) \left( a - 8 \right) < 0$, 즉 $- 4 < a < 8$이어야 한다. 따라서 $a > 0$, $a \neq 1$, $- 4 < a < 8$을 모두 만족시키는 모든 정수 $a$의 값의 합은 $2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27$이다.