대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1=2a _{1} = 2, a2=3a _{2} = 3, log⁡2an+log⁡2an+1+log⁡2an+2=1\log _{2} a _{n} + \log _{2} a _{n + 1} + \log _{2} a _{n + 2} = 1 (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) 을 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. a6=13\displaystyle a _{6} = \frac{1}{3} ㄴ. ∑k=110ak=18\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k} = 18 ㄷ. lim⁡n→∞1n∑k=13nak=163\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{3 n} a _{k} = \frac{16}{3}

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

로그의 성질에 의해 anan+1an+2=2a _{n} a _{n + 1} a _{n + 2} = 2이므로 수열{an}\left\{ a _{n} \right\}은 2,3,13\displaystyle 2 , 3 , \frac{1}{3}이 반복되어 나타난다. ㄱ. 6=3×26 = 3 \times 2이므로 a6=13\displaystyle a _{6} = \frac{1}{3}(참) ㄴ. S10=16×4−103=18\displaystyle S _{10} = \frac{16 \times 4 - 10}{3} = 18(참) ㄷ. lim⁡n→∞1nS3n=163\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{n} S _{3 n} = \frac{16}{3}이다. (참)

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