로그 절댓값 삼각형 넓이

[출제의도] 지수방정식 이해하기

$y = \left| \log _{2} x \right|$

점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표를 $a$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 4 \times ( - \log _{2} a )$이다. 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $a + 4$이므로 $- \log _{2} a = \log _{2} ( a + 4 )$이다. $a ^{2} + 4 a - 1 = 0$이 되고 $\displaystyle a = - 2 \pm \sqrt{5}$이고 $\displaystyle a = - 2 + \sqrt{5}$(진수조건에 의해 $a > 0$)가 된다. 넓이 $S$를 계산하면 $\displaystyle S = \log _{2} ( - 2 + \sqrt{5} ) ^{- 2}$이므로 $\displaystyle 2 ^{S} = ( - 2 + \sqrt{5} ) ^{- 2}$$\displaystyle = \frac{1}{9 - 4 \sqrt{5}}$$\displaystyle = 9 + 4 \sqrt{5}$ 이다. [다른풀이] $\mathrm{A} \mathit{(} 2 ^{- k} , k ) , \mathrm{B} \mathit{(} 2 ^{k} , k )$이므로 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 4 \times k = 2 k$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 4$에서 $2 ^{k} - 2 ^{- k} = 4$ $2 ^{k} = t$라 두면 $t - t ^{- 1} = 4$ $t ^{2} - 4 t - 1 = 0$ $\displaystyle t = 2 + \sqrt{5}$($\because t > 0$) $\displaystyle 2 ^{k} = 2 + \sqrt{5}$ $\displaystyle 2 ^{S} = 2 ^{2 k} = \left( 2 ^{k} \right) ^{2} = \left( 2 + \sqrt{5} \right) ^{2} = 9 + 4 \sqrt{5}$