로그 절댓값 그래프 점 개수

[출제의도] 로그함수와 수열 문제 해결하기

$2 ^{- k}$ $y = \left| \log _{2} x \right|$

$\mathrm{A} \mathit{(} 2 ^{- k} , k ) , \mathrm{B} \mathit{(} 2 ^{k} , k )$이므로 $x$좌표가 $2 ^{m}$($m$은 정수)의 꼴인 점의 개수는 $- k$부터 $k$까지 정수의 개수이다. 따라서 $a _{k} = k - \left( - k \right) + 1 = 2 k + 1$이다. 그러므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{15} a _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{15} ( 2 k + 1 ) = 2 \times \frac{15 \times 16}{2} + 15 = 255$ 이다. [다른풀이] $k = 1$일 때, $\mathrm{A} ( 2 ^{- 1} , 1 ) , B ( 2 ^{1} , 1 )$이고 $a _{1} = 3$이다. $k = 2$일 때, $\mathrm{A} ( 2 ^{- 2} , 2 ) , B ( 2 ^{2} , 2 )$이고 $a _{2} = 5$이다. $k$가 증가할수록 양 끝점이 두 개씩 늘어나므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $3$이고 공차가 $2$인 등차수열이다. 따라서 $a _{k} = 2 k + 1$이다. 그러므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{15} a _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{15} ( 2 k + 1 ) = 2 \times \frac{15 \times 16}{2} + 15 = 255$ 이다.