로그 절댓값 그래프 교점

[출제의도] 로그함수를 활용하여 문제를 해결한다. 점 ${\mathrm{P}}$는 두 곡선 $y = \log _{2} ( - x + k )$, $y = \mathit{-} \log _{2} x$의 교점이므로 $\log _{2} ( - x _{1} + k ) = \mathit{-} \log _{2} x _{1}$, $\displaystyle - x _{1} + k = \frac{1}{x _{1}}$ 즉, $x _{1} ^{2} - kx _{1} + 1 = 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ 점 ${\mathrm{R}}$는 두 곡선 $y = \mathit{-} \log _{2} ( - x + k )$, $y = \log _{2} x$의 교점이므로 $- \log _{2} ( - x _{3} + k ) = \log _{2} x _{3}$, $\displaystyle \frac{1}{- x _{3} + k} = x _{3}$ 즉, $x _{3} ^{2} - kx _{3} + 1 = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의해 $x _{1}$, $x _{3}$은 이차방정식 $x ^{2} - kx + 1 = 0$의 서로 다른 두 실근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 $x _{1} x _{3} = 1$ 그러므로 $\displaystyle x _{3} - x _{1} = 2 \sqrt{3}$ 에서 $( x _{1} + x _{3} ) ^{2}$$= ( x _{3} - x _{1} ) ^{2} + 4 x _{1} x _{3}$$\displaystyle = ( 2 \sqrt{3} ) ^{2} + 4 \times 1$$= 16$ 따라서 $x _{1} + x _{3} = 4$