미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그 재귀관계로 만든 등비급수

문제

수열 {an}{\{} a _{n} \}이 다음 세 조건을 만족시킨다. (가) a1=110\displaystyle a _{1} = \frac{1}{10} (나) 모든 자연수 nn에 대하여 an>0,an≠1a _{n} > 0 , a _{n} \neq 1 (다) 어떤 양수 xx에 대하여 log⁡anx+log⁡an+1x=log⁡x\log _{a _{n}} x + \log _{a _{n+1}} x = \log x (단, x≠1x \neq 1)

자연수 nn에 대하여 bn=a1a2a3a4⋯a2n−1a2nb _{n} = a _{1} a _{2} a _{3} a _{4} \cdots a _{2n-1} a _{2n}으로 정의할 때, 무한급수 ∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}의 값은? ①19\displaystyle \frac{1}{9}②10−19\displaystyle \frac{\sqrt{10} - 1}{9}③109\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{9}④49\displaystyle \frac{4}{9}⑤10+19\displaystyle \frac{\sqrt{10} + 1}{9}

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⑤

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해설

(다)에서 log⁡anx+log⁡an+1x=log⁡x\log _{a_{n}} x + \log _{a_{n+1}} x = \log x이므로 좌변을 상용로그로 바꾸면 log⁡xlog⁡an+log⁡xlog⁡an+1=log⁡x\displaystyle \frac{\log x}{\log a _{n}} + \frac{\log x}{\log a _{n+1}} = \log x x≠1x \ne 1이므로 양변을 log⁡x\log x로 나누면 1log⁡an+1log⁡an+1=1\displaystyle \frac{1}{\log a _{n}} + \frac{1}{\log a _{n+1}} = 1 1log⁡an+1=1−1log⁡an\displaystyle \frac{1}{\log a _{n+1}} = 1 - \frac{1}{\log a _{n}} ∴log⁡an+1=log⁡anlog⁡an−1\displaystyle \therefore \log a _{n+1} = \frac{\log a _{n}}{\log a _{n} - 1} a1=110\displaystyle a _{1} = \frac{1}{10}이므로 log⁡a2=log⁡110log⁡110−1=−1−2=12\displaystyle \log a _{2} = \frac{\log \frac{1}{10}}{\log \frac{1}{10} - 1} = \frac{- 1}{- 2} = \frac{1}{2} ∴a2=1012\displaystyle \therefore a _{2} = 10 ^{\frac{1}{2}} log⁡a2=12\displaystyle \log a _{2} = \frac{1}{2}이므로 log⁡a3=1212−1=−1\displaystyle \log a _{3} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - 1} = - 1 ∴a3=10−1=a1\therefore a _{3} = 10 ^{-1} = a _{1} 따라서 a1=10−1a _{1} = 10 ^{-1}, a2=1012\displaystyle a _{2} = 10 ^{\frac{1}{2}}, a3=10−1a _{3} = 10 ^{-1}, a4=1012\displaystyle a _{4} = 10 ^{\frac{1}{2}}, …이므로 a2n−1a2n=10−1⋅1012=10−12\displaystyle a _{2n-1} a _{2n} = 10 ^{-1} \cdot 10 ^{\frac{1}{2}} = 10 ^{- \frac{1}{2}} (n=1,2,3,⋯ )( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) ∴bn\therefore b _{n}=(a1a2)(a3a4)⋯(a2n−1a2n)= ( a _{1} a _{2} ) ( a _{3} a _{4} ) \cdots ( a _{2n-1} a _{2n} ) =(10−12)(10−12)⋯(10−12)\displaystyle = \left( 10 ^{- \frac{1}{2}} \right) \left( 10 ^{- \frac{1}{2}} \right) \cdots \left( 10 ^{- \frac{1}{2}} \right) =(10−12)n\displaystyle = \left( 10 ^{- \frac{1}{2}} \right) ^{n} 따라서 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 첫째항이 10−12\displaystyle 10 ^{- \frac{1}{2}}, 공비가 10−12\displaystyle 10 ^{- \frac{1}{2}}인 등비수열이므로 ∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}=10−121−10−12\displaystyle = \frac{10 ^{- \frac{1}{2}}}{1 - 10 ^{- \frac{1}{2}}} =1101−110\displaystyle = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{10}}} =110−1\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{10} - 1} =10+19\displaystyle = \frac{\sqrt{10} + 1}{9}

태그

#로그의 성질#등비급수

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