로그 합성함수 보기 판정

[출제의도] 미분을 활용하여 함수의 그래프 추론하기 ㄱ. $\displaystyle g' \left( x \right) = \frac{1}{\ln 3} \times \frac{4 x ^{3}}{x ^{4} + 2 n}$이므로 $g' \left( f \left( 1 \right) \right) = g' \left( 0 \right) = 0$ $h' \left( 1 \right) = g' \left( f \left( 1 \right) \right) f' \left( 1 \right) = 0$ (참) ㄴ. $h \left( x \right) = g \left( f \left( x \right) \right) = \log _{3} \left[ \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{4} + 2 n \right]$ $h' \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{1}{\ln 3} \times \frac{4 \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{3} f' \left( x \right)}{\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{4} + 2 n}$$\displaystyle = \frac{1}{\ln 3} \times \frac{4 nx ^{n - 1} \left( x ^{n} - 1 \right) ^{3}}{\left( x ^{n} - 1 \right) ^{4} + 2 n}$ 열린 구간 $\left( 0 , 1 \right)$에서 $- 1 < x ^{n} - 1 < 0$이므로 $h' \left( x \right) < 0$이다. 열린 구간 $\left( 0 , 1 \right)$에서 함수 $h \left( x \right)$는 감소한다. (거짓) ㄷ. $x > 0$에서 함수 $h \left( x \right)$는 $x = 1$에서 극솟값 $\log _{3} {2 n}$을 갖는다. 함수 $h \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다. (ⅰ) $n = 1$일 때,

(ⅱ) $n \geq 2$일 때,

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 방정식 $h \left( x \right) = n$의 서로 다른 실근의 개수는 $1$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ