로그 합 조건과 등비수열의 합의 크기

등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$라 하면 $a > 0$, $r > 0$이다. $a _{4} = a _{2} r ^{2}$이므로 (가)에서 $\log _{2} a _{4} - \log _{2} a _{2} = \log _{2} r ^{2} = 2 \log _{2} r = 2$, $\log _{2} r = 1$, $r = 2$ $a _{k} = a \times 2 ^{k - 1}$에서 $\log _{2} a _{k} = \log _{2} a + ( k - 1 )$이므로 (나)에서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{8} \log _{2} a _{k} = 8 \log _{2} a + ( 0 + 1 + 2 + \cdots + 7 ) = 8 \log _{2} a + 28 = 20$ $\log _{2} a = - 1$, $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ 따라서 $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{2} \times 2 ^{n - 1} = 2 ^{n - 2}$이고 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \frac{1}{2} \times \frac{2 ^{n} - 1}{2 - 1} = \frac{2 ^{n} - 1}{2}$ $\displaystyle \frac{2 ^{n} - 1}{2} > 1000$에서 $2 ^{n} > 2001$ $2 ^{10} = 1024$, $2 ^{11} = 2048$이므로 $n \geq 11$ 따라서 구하는 $n$의 최솟값은 $11$이다.