대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그 항등식

문제

모든 양수 xx에 대하여 alog⁡x=x,a ^{\log x} = x , xlog⁡b=bx ^{\log b} = b가 성립한다. 두 상수 a,ba , b에 대하여 a+ba + b의 값은? (단, log⁡\log는 상용로그이다.) [3점] ①1111②1212③1313④1414⑤1515

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①

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해설

[출제의도] 지수와 로그의 성질 문제 해결하기 alog⁡x=xa ^{\log x} = x에서 양변에 log⁡\log를 취하면 log⁡xlog⁡a=log⁡x\log x \log a = \log x이므로 log⁡x(log⁡a−1)=0\log x \left( \log a - 1 \right) = 0이다. 이 식이 모든 양수 xx에 대하여 성립하므로 log⁡a=1\log a = 1이다. 그러므로 a=10a = 10이다. xlog⁡b=bx ^{\log b} = b에서 양변에 log⁡\log를 취하면 log⁡blog⁡x=log⁡b\log b \log x = \log b이므로 log⁡b(log⁡x−1)=0\log b \left( \log x - 1 \right) = 0이다. 이 식이 모든 양수 xx에 대하여 성립하므로 log⁡b=0\log b = 0이다. 그러므로 b=1b = 1이다 따라서 a+b=11a + b = 11이다.

태그

#상용로그#항등식

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