로그 그래프와 정사각형

두 자연수 $n$, $k$에 대하여 아래 그림과 같이 네 꼭짓점 $\mathrm{A} _{1} \left( \mathit{n} , k \right)$, $\mathrm{A} _{2} \left( \mathit{n} + 1 , k \right)$, $\mathrm{A} _{3} \left( \mathit{n} + 1 , k + 1 \right)$, $\mathrm{A} _{4} \left( \mathit{n} , k + 1 \right)$으로 하는 정사각형이 두 함수 $y = \log 7 x$, $y = \log 3 x$와 모두 만나기 위해서는 $\log 7 n \leq k + 1$ 이고 $\log 3 ( n + 1 ) \geq k$ 이어야 한다. 즉, $\displaystyle n \leq \frac{10 ^{k + 1}}{7}$ 이고 $\displaystyle n \geq \frac{10 ^{k}}{3} - 1$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{10 ^{k}}{3} - 1 \leq n \leq \frac{10 ^{k + 1}}{7}$

$y = \log 3 x$ $y = \log 7 x$

(ⅰ) $k = 1$일 때, $\displaystyle \frac{10}{3} - 1 \leq n \leq \frac{100}{7}$ 그러므로 자연수 $n$은 $3 , 4 , \cdots , 14$로 $12$개다. (ⅱ) $k = 2$일 때, $\displaystyle \frac{100}{3} - 1 \leq n \leq \frac{1000}{7}$ 그리고 꼭지점의 $x$좌표는 모두 100이하이므로 $n + 1 \leq 100$이다. 그러므로 $99$이하의 자연수 $n$은 $33 , 34 , \cdots , 99$로 $67$개다. 따라서 모든 정사각형의 개수는 $12 + 67 = 79$