미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그 그래프와 급수

문제

자연수 nn에 대하여 함수 y=log⁡c∣x∣y = \log _{c} \left| x \right|의 그래프와 직선 y=ny = n의 교점의 xx좌표를 각각 an,bna _{n} , b _{n} (an>bna _{n} > b _{n})이라 할 때, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. an+bn=0a _{n} + b _{n} = 0 ㄴ. lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = 0이면 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}=c1−c\displaystyle = \frac{c}{1 - c}이다. ㄷ. ∑n=1∞1bn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{b _{n}}이 발산하면 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}이 발산한다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 무한급수의 성질 추론하기 y=log⁡c∣x∣y = \log _{c} \left| x \right|과 y=ny = n의 교점의 xx좌표를 구하면 an=cna _{n} = c ^{n}이고 bn=−cnb _{n} = - c ^{n}이다. 즉, {an}\left\{ a _{n} \right\}과 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 공비가 cc인 등비수열이다. ㄱ. an+bn=cn+(−cn)=0a _{n} + b _{n} = c ^{n} + \left( - c ^{n} \right) = 0 (참) ㄴ. lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = 0 이면 0<c<10 < c < 1 따라서 ∑n=1∞an=c1−c\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \frac{c}{1 - c} (참) ㄷ. ∑n=1∞1bn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{b _{n}}이 발산하면 수열 {1bn}\displaystyle \left\{ \frac{1}{b _{n}} \right\}의 공비 1c\displaystyle \frac{1}{c}은1c>1\displaystyle \frac{1}{c} > 1 이므로 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공비 cc는 0<c<10 < c < 1이다. 따라서 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}은 수렴한다. (거짓)

태그

#등비급수#로그함수#보기

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