대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그 그래프와 가우스 방정식

문제

아래 그림은 log⁡2x\log _{2} x와 log⁡4y\log _{4} y사이의 관계를 나타낸 그래프이다.

xx, yy 사이에 y=f(x)y = f ( x )가 성립할 때, 방정식 4[f(x)]=164 ^{[ f ( x ) ]} = 16의 정수해의 합을 구하시오. (단, [x][ x ]는 xx를 넘지 않는 최대의 정수이다.) [4점]

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해설

그림에서 log⁡4y\log _{4} y와 log⁡2x\log _{2} x사이의 관계는 원점과 (4,1)( 4 , 1 )을 지나는 일차함수이다. 따라서 log⁡4y\log _{4} y=14log2x\displaystyle = \frac{1}{4} {\mathrm{l} og} _{2} x=14log4x2\displaystyle = \frac{1}{4} {\mathrm{l} og} _{4} x ^{2} =log4x12\displaystyle = {\mathrm{l} og} _{4} x ^{\frac{1}{2}}이다. y=x12\displaystyle y = x ^{\frac{1}{2}}이므로 f(x)=x12\displaystyle f ( x ) = x ^{\frac{1}{2}}이 된다. 방정식 4[f(x)]=164 ^{[ f ( x ) ]} = 16은 4[x12]=42\displaystyle 4 ^{\left[ x ^{\frac{1}{2}} \right]} = 4 ^{2}이므로 [x12]=2\displaystyle \left[ x ^{\frac{1}{2}} \right] = 2가 된다 . ∴4≤x<94 \leq x < 9

태그

#로그#그래프#가우스 기호

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