대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 그래프 수직 조건

문제

그림과 같이 곡선 $y = \left| \log _{a} x \right|$ 가 직선 $y = 1$ 과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하고 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 두 직선 $\mathrm{AC}$ , $\mathrm{BC}$ 가 서로 수직이 되도록 하는 모든 양수 $a$ 의 값의 합은? (단, $a \ne 1$ ) [3점]

$y = \left| \log _{a} x \right|$

① $2$ ② $\displaystyle \frac{5}{2}$ ③ $3$ ④ $\displaystyle \frac{7}{2}$ ⑤ $4$

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③

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해설

점C는 $( 1 , 0 )$ 이고 $a > 1$ 이면 $\displaystyle A ( \frac{1}{a} , 1 ) , B ( a , 1 )$ $0 < a < 1$ 이면 $\displaystyle A ( a , 1 ) , B ( \frac{1}{a} , 1 )$ $\displaystyle \overline{AC}$ 기울기 $\times$ $\displaystyle \overline{BC}$ 기울기 $\displaystyle = \frac{1}{\frac{1}{a} - 1} \times \frac{1}{a - 1} = - 1$ 정리하면 $a ^{2} - 3 a + 1 = 0$ $a$ 값의 합은 3

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