대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 그래프 선분 길이

문제

$1 < k < 128$ 인 실수 $k$ 에 대하여 직선 $x = k$ 가 두 로그함수 $y = \log _{2} x$ , $\displaystyle y = \log _{\frac{1}{4}} x$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하자. 선분 $\mathrm{AB}$ 의 길이가 자연수가 되도록 하는 모든 $k$ 의 값의 곱을 $M$ 이라 할 때, $3 \log _{2} M$ 의 값은? [4점] ① $80$ ② $90$ ③ $100$ ④ $110$ ⑤ $120$

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④

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[출제의도] 로그함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \log _{2} k - \log _{\frac{1}{4}} k = \frac{3}{2} \log _{2} k$ $= n$ ( $n$ 은 자연수) 따라서 $\displaystyle \log _{2} k = \frac{2}{3} n$ 한편, $\log _{2} 1 < \log _{2} k < \log _{2} 128$ 즉, $\displaystyle 0 < \frac{2}{3} n < 7$ 에서 $n = 1 , 2 , \cdots , 10$ 모든 $k$ 값의 곱을 $M$ 이라 하면 $\displaystyle \log _{2} M = \frac{2}{3} ( 1 + 2 + 3 + \cdots + 10 ) = \frac{110}{3}$ 그러므로 $3 \log _{2} M = 110$

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