대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 그래프 삼각형 넓이

문제

그림과 같이 두 로그함수 $y = \log _{3} x$ , $y = \log _{3} {( x - a )} + b$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하고 두 로그함수의 그래프가 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 점 $\mathrm{C}$ 의 좌표가 $\left( 3 , 1 \right)$ 이고 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이가 $\displaystyle \frac{2}{3}$ 일 때, $a + b$ 의 값은? (단, $a > 0$ , $b > 0$ ) [4점]

$\mathrm{C} ( 3 , 1 )$ $y = \log _{3} x$ $y = \log _{3} ( x - a ) + b$

① $\displaystyle \frac{7}{3}$ ② $3$ ③ $\displaystyle \frac{11}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{13}{3}$ ⑤ $5$

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②

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해설

[출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기 (삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이) $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 1 \times \left( a + 3 ^{- b} - 1 \right)$ $\displaystyle = \frac{2}{3}$ $\displaystyle a + 3 ^{- b} = \frac{7}{3}$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $y = \log _{3} ( x - a ) + b$ 이 점 $( 3 , 1 )$ 을 지나므로 $3 - a = 3 ^{1 - b}$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$ , $\text{㉡}$ 에 의하여 $a = 2$ , $b = 1$ 따라서 $a + b = 3$

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