대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 그래프 사이 정수

문제

[13 ~ 14] 그림은 함수 $y = \log _{2} x$ , $\displaystyle y = \log _{\frac{1}{2}} x$ 의 그래프이다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

$y = \log _{2} x$ $\displaystyle y = \log _{\frac{1}{2}} x$

$1$ 보다 큰 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $x = n$ 이 두 함수 $y = \log _{2} x$ , $\displaystyle y = \log _{\frac{1}{2}} x$ 의 그래프와 만나는 점의 $y$ 좌표를 각각 $a _{n}$ , $b _{n}$ 이라 하자. $b _{n} \leq m \leq a _{n}$ 을 만족시키는 정수 $m$ 의 개수를 $c _{n}$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{16} c _{n}$ 의 값은? [4점] ① $89$ ② $91$ ③ $93$ ④ $95$ ⑤ $97$

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②

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열을 활용하여 추론하기 $\displaystyle \log _{\frac{1}{2}} n \leq m \leq \log _{2} n$ 을 만족시키는 정수 $m$ 의 개수 $c _{n}$ 은 ⅰ) $2 ^{1} \leq n < 2 ^{2}$ 일 때, $m = - 1$ , $0$ , $1$ 이므로 $c _{2} = c _{3} = 3$ ⅱ) $2 ^{2} \leq n < 2 ^{3}$ 일 때, $m = - 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $2$ 이므로 $c _{4} = c _{5} = c _{6} = c _{7} = 5$ ⅲ) $2 ^{3} \leq n < 2 ^{4}$ 일 때, $m = - 3$ , $- 2$ , $\cdots$ , $3$ 이므로 $c _{8} = c _{9} = \cdots = c _{15} = 7$ ⅳ) $n = 2 ^{4}$ 일 때, $m = - 4$ , $- 3$ , $\cdots$ , $4$ 이므로 $c _{16} = 9$ $\therefore$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{16} c _{n} =$ $( 3 \times 2 ) + ( 5 \times 4 ) + ( 7 \times 8 ) + 9 = 91$

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