로그 그래프 사각형

그림과 같이 직선 $\displaystyle y = \frac{2}{3}$가 두 곡선 $y = \log _{a} x$, $y = \log _{b} x$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{P} , Q$라 하자. 점 $\mathrm{P}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y = \log _{b} x$와 $x$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A} , B$라 하고, 점 $\mathrm{Q}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y = \log _{a} x$와 $x$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{C} , D$라 하자.

$y = \log _{a} x$ $y = \log _{b} x$ $\displaystyle y = \frac{2}{3}$

$\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} = \overline{AB}$이고, 사각형 $\mathrm{PAQC}$의 넓이가 $1$일 때, 두 상수 $a , b$의 곱 $a b$의 값은? (단, $1 < a < b$이다.) [4점] ①$\displaystyle 12 \sqrt{2}$②$\displaystyle 14 \sqrt{2}$③$\displaystyle 16 \sqrt{2}$④$\displaystyle 18 \sqrt{2}$⑤$\displaystyle 20 \sqrt{2}$