대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 그래프 각 이등분

문제

그림과 같이 함수 y=log⁡2xy = \log _{2} x의 그래프와 직선 y=ky = k (kk는 자연수), xx축과의 교점을 각각 A,B\mathrm{A} , B라 하고, 직선 y=ky = k 위의 한 점 P\mathrm{P}에 대하여 직선 OP\mathrm{OP}가 ∠AOB\angle \mathrm{AOB}를 이등분할 때, 선분 AP\mathrm{AP}의 길이를 f(k)f ( k )라 하자. ∑k=14{f(k)}2\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{4} \left\{ f ( k ) \right\} ^{2}의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점) [4점]

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370370

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해설

직선 OP\mathrm{OP}가 ∠AOB\mathrm{\angle} AOB의 이등분선이므로 ∠AOP=∠POB\mathrm{\angle} AOP = \angle POB이고 ∠POB=∠APO\mathrm{\angle} POB = \angle APO(엇각)이므로 ∠AOP=∠APO\mathrm{\angle} AOP = \angle APO, OA‾=AP‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \overline{AP}이다. AP‾=f(k)\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} \mathit{=} f ( k )이므로 OA‾=f(k)\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} \mathit{=} f ( k ). A\mathrm{A}의 좌표가 (2k,k)( 2 ^{k} , k )이므로 f(k)=4k+k2\displaystyle f ( k ) = \sqrt{4 ^{k} + k ^{2}} ∴\therefore∑k=14{f(k)}2=∑k=14(4k+k2)=370\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{4} \left\{ f ( k ) \right\} ^{2} = \sum\limits _{k = 1} ^{4} ( 4 ^{k} + k ^{2} ) = 370

태그

#로그함수#각의 이등분

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