로그 가우스 등비급수

$[ f ( x ) ] = f ( x )$ ………………… ㉠ 0＜x＜1에서 $\displaystyle f ( x ) = \log _{\frac{1}{3}} x > 0$이므로 (ⅰ) 0＜f (x)＜1일 때, 즉 $\displaystyle 0 < \log _{\frac{1}{3}} x < 1$ $\displaystyle \therefore \frac{1}{3} < x < 1$ …………………………… ㉡ $[ f ( x ) ] = 0$이므로 ㉠에서 $\displaystyle 0 = \log _{\frac{1}{3}} x$ ∴ x =1 그런데, ㉡에 의해 근이 될 수 없다. (ⅱ) 1≦f (x)＜2일 때, 즉$\displaystyle 1 \leq \log _{\frac{1}{3}} x < 2$ $\displaystyle \therefore \frac{1}{9} < x \leq \frac{1}{3}$ $[ f ( x ) ] = 1$이므로 ㉠에서 $\displaystyle 1 = \log _{\frac{1}{3}} x$ ∴ x =$\displaystyle \frac{1}{3}$ (ⅲ) 2≦f (x)＜3일 때, 즉 $\displaystyle 2 \leq \log _{\frac{1}{3}} x < 3$ $\displaystyle \therefore \frac{1}{27} < x \leq \frac{1}{9}$ $[ f ( x ) ] = 2$이므로 ㉠에서 $\displaystyle 2 = \log _{\frac{1}{3}} x$ ∴ x =$\displaystyle \frac{1}{9}$ (ⅳ) 3≦f (x)＜4일 때, 즉 $\displaystyle 3 \leq \log _{\frac{1}{3}} x < 4$ $\displaystyle \therefore \frac{1}{81} < x \leq \frac{1}{27}$ $[ f ( x ) ] = 3$이므로 ㉠에서 $\displaystyle 3 = \log _{\frac{1}{3}} x$ ∴ x =$\displaystyle \frac{1}{27}$ ⋮ 따라서, 실근은 $\displaystyle \frac{1}{3}$, $\displaystyle \frac{1}{9}$, $\displaystyle \frac{1}{27}$, ⋯이므로 모든 실근의 합은 첫째항이 $\displaystyle \frac{1}{3}$이고, 공비가 $\displaystyle \frac{1}{3}$인 무한등비급수의 합이다. ∴ $\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \cdots = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$