로그 가수와 수열

[출제의도] 수열의 합과 일반항의 관계와 상용로그의 가수의 성질을 이용하여 문제를 해결한다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} k \log a _{k} = n ^{2} - n$ ($n \geq 1$) $b _{n} = n \log a _{n}$, $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} b _{k}$라 하면 $S _{n} = n ^{2} - n$이므로 $b _{1} = S _{1} = 0$ $b _{n} = S _{n} - S _{n - 1}$ $= \left( n ^{2} - n \right) - \left\{ \left( n - 1 \right) ^{2} - \left( n - 1 \right) \right\}$ $= 2 n - 2$ ($n \geq 2$) ∴ $b _{n} = n \log a _{n} = 2 n - 2$ ($n \geq 1$) ∴ $\displaystyle \log a _{n} = 2 - \frac{2}{n}$ ($n \geq 1$) $n = 1$ 또는 $n = 2$일 때, $\log a _{n}$의 가수는 $0$이므로 $m \geq 3$이다. 이때 $\displaystyle 0 < \frac{2}{m} < 1$이므로 $\displaystyle \log a _{m} = 1 + \left( 1 - \frac{2}{m} \right)$ 에서 $\log a _{m}$의 가수는 $\displaystyle 1 - \frac{2}{m}$이다. $\displaystyle 1 - \frac{2}{m} = 0.9$ ∴ $m = 20$