대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 가수 최솟값

문제

함수 f(x)f ( x )를 f(x)=log⁡x−[log⁡x]f ( x ) = \log x - \left[ \log x \right]라 하자. 10<a<10010 < a < 100인 실수 aa에 대하여 {f(a)}2+{f(1a)}2\displaystyle \left\{ f ( a ) \right\} ^{2} + \left\{ f \left( \frac{1}{a} \right) \right\} ^{2}의 최솟값은? (단, [x]\left[ x \right]는 xx보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②12\displaystyle \frac{1}{2}③34\displaystyle \frac{3}{4}④11⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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②

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해설

log⁡a=1+α\log a = 1 + \alpha (0<α<10 < \alpha < 1)라 하면 f(a)=αf ( a ) = \alpha log⁡1a=−log⁡a=(−2)+(1−α)\displaystyle \log \frac{1}{a} = - \log a = ( - 2 ) + ( 1 - \alpha )이므로 f(1a)=1−α\displaystyle f \left( \frac{1}{a} \right) = 1 - \alpha {f(a)}2+{f(1a)}2=α2+(1−α)2=2(α−12)2+12\displaystyle \left\{ f ( a ) \right\} ^{2} + \left\{ f \left( \frac{1}{a} \right) \right\} ^{2} = \alpha ^{2} + ( 1 - \alpha ) ^{2} = 2 \left( \alpha - \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{1}{2} 0<α<10 < \alpha < 1에서 α=12\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}일 때 최솟값 12\displaystyle \frac{1}{2}을 갖는다.

태그

#상용로그#가수#최솟값

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