로그 값의 유리함수 대입

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 상용로그를 계산한다. $\displaystyle f ( \log _{3} 6 ) = \frac{\log _{3} 6 + 1}{2 \log _{3} 6 - 1}$에서 $\log _{3} 6 + 1$$= \log _{3} 6 + \log _{3} 3$$= \log _{3} 18$ $2 \log _{3} 6 - 1$$= \log _{3} 6 ^{2} - \log _{3} 3$$= \log _{3} 12$ 로그의 밑의 변환 공식에 의하여 $f ( \log _{3} 6 )$$\displaystyle = \frac{\log _{3} 18}{\log _{3} 12}$$\displaystyle = \frac{\frac{\log 18}{\log 3}}{\frac{\log 12}{\log 3}}$$\displaystyle = \frac{\log 18}{\log 12}$$\displaystyle = \frac{\log ( 2 \times 3 ^{2} )}{\log ( 2 ^{2} \times 3 )}$ $\displaystyle = \frac{\log 2 + 2 \log 3}{2 \log 2 + \log 3}$$\displaystyle = \frac{a + 2 b}{2 a + b}$ [다른풀이] $\log _{3} 6$$\displaystyle = \frac{\log 6}{\log 3}$$\displaystyle = \frac{\log ( 2 \times 3 )}{\log 3}$$\displaystyle = \frac{\log 2 + \log 3}{\log 3}$$\displaystyle = \frac{a + b}{b}$ $f ( \log _{3} 6 )$$\displaystyle = f \left( \frac{a + b}{b} \right)$$\displaystyle = \frac{\frac{a + b}{b} + 1}{2 \times \frac{a + b}{b} - 1}$$\displaystyle = \frac{\frac{a + 2 b}{b}}{\frac{2 a + b}{b}}$$\displaystyle = \frac{\frac{a + 2 b}{b} \times b}{\frac{2 a + b}{b} \times b}$ $\displaystyle = \frac{a + 2 b}{2 a + b}$