로그 개수 일대일대응

[출제의도] 함수와 로그의 성질을 이용하여 집합의 개수를 구하는 문제를 해결한다. $\log _{x} {n}$이 자연수가 되려면 $n$은 $x$의 거듭제곱이어야 하므로 $A ( x )$의 값은 $1$부터 $300$ 사이의 자연수 중 $x$의 거듭제곱으로 나타내어지는 수의 개수이다. $2 ^{8} < 300 < 2 ^{9}$이므로 $A ( 2 )$$= 8$ 이와 같은 방법으로 $2$ 이상의 자연수 $x$에 대하여 $A ( x )$의 값을 구하면 $A ( 2 )$$= 8$, $A ( 3 )$$= 5$, $A ( 4 )$$= 4$, $A ( 5 )$$= 3$, $A ( 6 )$$= 3$, $A ( 7 )$$= 2$, $A ( 8 )$$= 2$, $\cdots$이므로 전체집합 $P$의 공집합이 아닌 부분집합 $X$에 대하여 집합 $X$에서 집합 $X$로의 대응 $f$가 일대일 대응이 되려면 집합 $X$는 집합 $\left\{ 2 , 3 , 4 , 5 , 8 \right\}$의 부분집합이어야 한다. 함수 $f$가 일대일 대응이므로, 임의의 $a \in X$에 대하여 $f ( a ) \in X$, $f ( f ( a ) ) = a$를 만족시키는 집합 $X$는 $\left\{ 4 \right.$, $\left\{ 2 , 8 \right\}$, $\left\{ 3 , 5 \right\}$, $\left\{ 2 , 4 , 8 \right\}$, $\left\{ 3 , 4 , 5 \right\}$, $\left\{ 2 , 3 , 5 , 8 \right\}$, $\left\{ 2 , 3 , 4 , 5 , 8 \right\}$ 이다. 따라서 함수 $f : X \rightarrow X$가 일대일 대응이 되도록 하는 집합 $X$의 개수는 $7$이다.