로그 두 값의 곱과 합

[출제의도] 로그의 정의를 이용하여 문제 해결하기 조건 (가)에서 $\left( \log _{2} a \right) \left( \log _{b} 3 \right) = 0$이므로 $\log _{2} a = 0$ 또는 $\log _{b} 3 = 0$이다. $\log _{b} 3 = 0$을 만족시키는 $b$는 존재하지 않는다. 따라서 $\log _{2} a = 0$이므로 $a = 1$이다. 조건 (나)에서 $\log _{b} 3 = 2$이므로 $b ^{2} = 3$이다. 그러므로 $a ^{2} + b ^{2} = 1 + 3 = 4$이다. [다른 풀이] $\log _{2} a$와 $\log _{b} 3$을 두 근으로 하고 최고차항의 계수가 $1$인 이차방정식은 $x ^{2} - \left( \log _{2} a + \log _{b} 3 \right) x + \left( \log _{2} a \right) \left( \log _{b} 3 \right) = 0$이다. $x ^{2} - 2 x = 0$ $x = 0$, $2$ 따라서 $\log _{2} a = 0$, $\log _{b} 3 = 2$ 또는 $\log _{2} a = 2$, $\log _{b} 3 = 0$이다. $\log _{b} 3 = 0$을 만족시키는 $b$는 존재하지 않으므로 $\log _{2} a = 0$, $\log _{b} 3 = 2$이다. 그러므로 $a = 1$, $b ^{2} = 3$이고 $a ^{2} + b ^{2} = 4$이다.