대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 등식과 정수

문제

두 양의 정수m,nm , n에 대하여 a=3m,b=3na = 3 ^{m} , b = 3 ^{n}이라 할 때, 등식 log⁡3ba=log⁡3blog⁡3a\displaystyle \log _{3} \frac{b}{a} = \frac{\log _{3} b}{\log _{3} a}가 성립한다. 이 때, a+ba + b의 값을 구하시오. [4점]

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90

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해설

[출제의도] 로그의 성질과 부정방정식에 관한 문제 해결 능력을 측정한다. a=3m,b=3na = 3 ^{m} , b = 3 ^{n}에서 log⁡3a=m,log⁡3b=n\log _{3} a = m , \log _{3} b = n log⁡3ba=log⁡3b−log⁡3a=n−m\displaystyle \log _{3} \frac{b}{a} = \log _{3} b - \log _{3} a = n - m 이므로 주어진 조건식에 대입하면 n−m=nm,mn−m2=n\displaystyle n - m = \frac{n}{m} , mn - m ^{2} = n ∴n=m2m−1=m+1+1m−1\displaystyle \therefore n = \frac{m ^{2}}{m - 1} = m + 1 + \frac{1}{m - 1} 이 때, m,nm , n 이 양의 정수이므로 m−1=1m - 1 = 1 이다. 따라서 m=2,n=4m = 2 , n = 4 a=32,b=34a = 3 ^{2} , b = 3 ^{4} ∴a+b=9+81=90\therefore a + b = 9 + 81 = 90

태그

#로그 성질#정수해

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